${1+"$@"} は結果的に "$@" が展開されると思いますので、コマンドライン引数を参照する目的で使えます。ダブルクォートで囲んだ "$@" の場合は、"$1" "$2" ... "$n" のように展開されます。よく似た "$*" は "$1 $2 ... $n" のように展開されます。


sh では ${式} は、パラメータ展開を意味します。

${パラメータ:+代替値} は、以下のような展開を行います。
　　パラメータが存在していない場合　→　空文字列
　　パラメータが存在しているが値が空の場合　→　空文字列
　　パラメータが存在しており、値が空でない場合　→　代替値

コロンを省略した ${パラメータ+代替値} は、以下のような展開を行います。
　　パラメータが存在していない場合　→　空文字列
　　パラメータが存在しているが値が空の場合　→　代替値
　　パラメータが存在しており、値が空でない場合　→　代替値



参照サイトは日本語訳なのだと思われますが、翻訳が少しおかしいのではないでしょうか？

原文は知りませんが、「上記の式からコロン (:) を省略すると、シェルは parameter が設定されているかどうかだけを判別します。（ヌルかどうかのチェックを行わない）」といった理解で良いと思います。

だんだん sh 思い出してきました。
もう少し正確な情報で自己フォローしておきます。

単にコマンドライン引数を参照するだけでなく、受け取った引数を、そっくりそのまま別コマンドに渡す場合などに以下のような書き方をします。

exec external_command ${1+"$@"}

理由は otn さんのおっしゃるとおり、古い sh 環境で引数が0個の場合に "$@" が空文字列に
なってしまうのを回避するために以下のように書きたくないから。

if [ $# -eq 0 ]; then
    exec external_command
else
    exec external_command "$@"
fi

${parameter:+word} の展開結果を、前のコメントでは「空文字列」と表記しましたが、
「空」に訂正します。


sh や bash の man を改めて確認しましたが、コロンがある場合には「unset か null の場合」と「それ以外の場合」で場合わけされますが、コロンを省略した場合には「unset の場合」と「それ以外の場合」で場合分けになると説明されています。

一応、手持ちのいくつかの sh で確認してみましたが、unset 判定になるのは、変数 parameter が存在しない場合（いきなり変数参照を行うケース）で、null 判定になるのは、変数 parameter が空の場合（「parameter=」や「parameter=""」のようなケース）でした。

参考までに、コマンドライン引数が無い場合、$# は 0 で、$@ は unset です。
コマンドライン引数が "" １つの場合、$# は 1 で、$@ は null です。

最近の sh は、変数 undefined を定義していない場合の "$undefined" は空文字列になりますが、引数が0個の場合の "$@" は空になるよう、例外処理されているみたいですね。

何かの振る舞いを確認したり理解したりするという局面は、プログラミングをしていれば
日常茶飯事だと思いますので、このぐらいの確認は自力で解決できるように
したほうが良いでしょう。

今回は、一例として確認のしかた（のヒント）を紹介しておきます。


●man の確認
man の見比べは、実際にいくつかの UNIX で man コマンドを見ただけです。
ログイン可能な Solaris や FreeBSD や RHEL などで、man してください。

------------------------------------------------------------
●「unset」と「null」と「その他」の確認
　　　～　${parameter:+word} と ${parameter+word} の比較　～

(1) ${parameter:+word} と ${parameter+word} の表示結果を見比べるスクリプトを作成する
(2) parameter 部分にいろいろな状態の変数を指定し、比較する
　例：
　　・未定義の変数名
　　・「変数=」の変数名
　　・「変数=""」の変数名
　　・「変数=値」の変数名
　　・その他気になるケースがあれば…

　※スクリプトを修正しながら繰り返し確認してもかまいませんし、
　　１つのスクリプト中で連続して表示してもかまわないと思います。

------------------------------------------------------------
●"$@" の振る舞いを確認する
(1) コマンド引数の個数（$#）を表示するスクリプトを用意する
(2) (1) で作成したスクリプトに、変数を引数として渡して実行するスクリプトを作る
(3) 引数としての変数の渡し方を変え、いろいろ実験する
　例：
　　・$*
　　・$@
　　・"$*"
　　・"$@"
　　・${1+"$@"}
　　・未定義の変数名
　　・「変数=」の変数名
　　・「変数=""」の変数名
　　・「変数=値」の変数名
　　・その他気になるケースがあれば…

　※スクリプトを修正しながら繰り返し確認してもかまいませんし、
　　１つのスクリプト中で連続して表示してもかまわないと思います。